2010年高考数学全国一卷理科第十九题

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3、(12分) 解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，
由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD.
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.
作BK⊥EC，K为垂足．因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，

DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB.
SB＝ ＝ ，
DE＝ ＝ ，
EB＝ ＝ ，SE＝SB－EB＝ ，
所以SE＝2EB.
(2)由SA＝ ＝ ，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝ ＝1，又AD＝1，
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝ ＝ .
连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.
所以∠AFG是二面角A—DE—C的平面角．
连结AG，AG＝ ，FG＝ ＝ ，
cos∠AFG＝ ＝－ .
所以二面角A-DE-C的大小为120°.
解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.

设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．
(1) ＝(0,2，－2)，
＝(－1,1,0)．
设平面SBC的法向量为
n＝(a，b，c)，
由n⊥ ，n⊥ 得n• ＝0，n• ＝0.
故2b－2c＝0，－a＋b＝0.
令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．
又设 ＝λ (λ＞0)，
则E( ， ， )．
＝( ， ，)， ＝(0,2,0)．
设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，
由m⊥ ，m⊥ ，得
m• ＝0，m• ＝0.
故 ＋ ＋ ＝0,2y＝0.
令x＝2，则m＝(2,0，－λ)．
由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n，m•n＝0，2－λ＝0，λ＝2.
故SE＝2EB.
(2)由(1)知E( ， ， )，取DE中点F，则F( ， ， )， ＝( ，－ ，－ )，
故 • ＝0，由此得FA⊥DE.
又 ＝(－ ， ，－ )，故 • ＝0，由此得EC⊥DE，
向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角．
于是cos〈 ， 〉＝ ＝－ ，
所以二面角A-DE-C的大小为120°

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