2010年上海中考数学试题25题过程

25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若 ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

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（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°

∵AD=AE  ∴∠AED＝60°=∠CEP

∴∠EPC＝30°

∴三角形BDP为前宏等腰三角形

∵△AEP与△BDP相似

∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°

∴AE=EP=1

∴在RT△ECP中，EC= EP= 

（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x

∵AE=1,EC=2

∴QC=3-a

∵∠ACB＝90°

∴△ADQ与△ABC相似

∴ 

即 ，∴ 

∵在RT△ADQ中 

∵ 

∴ 

解之得x=4，即BC=4

过点C作CF//DP

∴△ADE与△AFC相似， 

∴ ，即AF=AC，即DF=EC=2, 

∴BF=DF=2

∵△BFC与△BDP相似

∴ ，即：BC=CP=4

∴tan∠BPD= 

(3)过D点作DQ⊥兆腊AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a 

∴ 且 

∴ 

∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得： 

即： ，解之得 

∵族悔滑△ADQ与△ABC相似

∴ 

∴ 

∴三角形ABC的周长 

即： ，其中x>0