关于一道高中数学难题的解法（高手进）
【专题辅导】
学科：数学 年级：初三 主讲教师：严宇中 期数：01
正多边形和圆
【知识要点】
本单元研究正多边形和圆的关系，从知识角度看可以分为：正多边和圆的关系；正多边形的计算和画图；圆的有关计算三部分内容．圆的有关计算涉及内容较多，在下一讲研究．
本节知识要点：
1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
说明：
定义既可作判定用，也可以作性质用．
即： 各边相等、各角相等正多边形
2．正多边形的判定：
除了定义判定还有以下的判定定理：
把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形．
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
说明：
可以明确地指出，这个定理是正多边形的判定定理．它给出了判定正多边形的两条思路：
(1)如果一个多边形内接于圆，并且各顶点等分圆周，即可判定此多边形为正多边形．
(2)如果一个多边形外切于圆，它的各切点等分圆周，也可判定此多边形是正多边形．
此外，这个定理还提供了画正多边形的方法和依据：通过把圆n(n≥3)等分，依次连结各分点可以画出正n边形，过各分点作圆的切线也可以画出正n边形．
3．正多边形的有关性质：
(1)正多边形的各边相等、各角也相等．
(2)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
(4)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
说明：
①如果正多边形的边数是偶数，它的对称轴或者是经过圆心的对角线所在的直线，或者是经过对边中点的直线．边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心即对称中心．
②如果多边形的边数是奇数，它的对称轴是各边的中垂线．(必经过圆心和相对顶点)
边数是奇数的正多边形肯定不是中心对称图形，中心对称要求图形绕中心旋转180°能与原来图形完全重合，虽然奇数边的正多边形绕中
180°不能与原图形重合．
(5)边数相同的正多边形都相似，其周长的比，半径的比，边心距的比都等于相似比(即边长的比)．
面积的比等于它们边长(或半径，边心距)平方的比．
(6)正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．
说明：
根据此定理可以把正n边形的有关计算归结为解由半径、边心距和边长的一半，所构成的直角三角形，这个直角三角形中以正多边形中心为
4．正多边形的画法
由正多边形和圆关系定理可知，要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，等分后依次连结各分点成图．
具体分法：
心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧．
②用尺规等分圆，只限某些特殊边数的正n边形．
以上方法均存在作图的误差．
【典型例题】
分析：由于正n边形的半径、边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，因此，解正n边形的题目，只要画出它的一个局部，解其中的一个直角三角形．
解：如图2
设AB为正n边形的一边，O是中心，过O作OM⊥AB于M，连结OA．
说明：
题中除了R是已知量，正n边形的边数n也是已知量，这是容易忽略的．
例2 如图2
解：设AB是⊙O的内接正三角形的一边，作OC⊥AB于C，连结OA
设正三角形的半径为R
例3 如图3，一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比．
解：如图，设OM和O′M′分别是正三角形和正六边形的边心距
在Rt△AOM和Rt△A′O′M′中
解法2：∵△ACB和△A′O′B′都是正三角形
∴△ACB∽△A′O′B′
例4 如图4
已知圆外切正六边形的半径是4，求该圆的内接正三角形的边心距．
解：如图4
设AB是⊙O的内接正三角形的一边，CD是⊙O的外切正六边形的一边，B是切点，过O作OE⊥AB于E，连结OB、OD，则OB⊥CD．
圆外切正六边形的半径OD=4
在Rt△OBD中，OB=OD·cos30°
说明：
对于有圆外切正n边形条件的题目，也是解由半径、边心距、和边长的一半组成的直角三角形，注意这时圆的半径是圆外切正n边形的边心距．
在涉及既有圆内接正多边形又有圆外切正多边形的混合型题目中，圆的半径与内外两个图形都有关联，因此解决这类题目的关键是根据已知条件，设法计算出圆的半径．在画图中充分利用公共顶点，公共边，使构图简单明了．
角形的面积．
解：设AB是正六边形的一条边长，C为切点，CD为⊙O的内接正三角形的一条边长．
过O作OE⊥CD于E，分别连结OA、OC．
例6 如图6，已知圆内接正n边形的半径为R，边心距为r，面
解：设AB为圆内接正n边形的一边，A′B′为圆外切正n边形的一边，B为切点，连结OA′交AB于M．连结OB，OB⊥A′B′，根据切线长定理，A′A=A′B又∵OA=OB∴OA′垂直平分AB，OM=r，OB=R
在Rt△OA′B中，根据射影定理
解法2：
根据边数相同的正多边形都相似，它们面积的比等于边心距平方的比．
因为圆外切正n边形的边心距OB=R
圆内接正n边形的边心距OM=r
例7 如图7，求证：圆内接正六边形的面积是同圆的内接正三角形面积与外切正三角形面积的比例中项．
解：如图，设A′B′为圆外切正三角形的一边，A为切点，
则∠
连AB∵∠AOB=60°
∴AB为圆内接正六边形的一边
作AC⊥OB交⊙O于C
∵AO=OB
∴∠AOC=120°
∴AC为圆内接正三角形的一边
即圆内接正六边形的面积是同圆的内接正三角形和外切正三角形面积的比例中项．
例8 如图8
直线AC切⊙O于点A，点B在⊙O上且AB=AC=AO，OC、BC分别交⊙O于E、F，求证：EF是圆内接正24边形的一边．
解：∵AC切⊙O于A
∴∠AOC=90°又AC=AO
∴∠AOC=45°
∵AB=OB=OA
∴∠BAO=60°∠BAC=60°+90°=150°
∴∠AOF=30°
∴∠EOF=45°-30°=15°
∴EF是圆内接正24边形的一边
说明：
圆内接正n边形的边数、顶点数、内角数、半径数、边心距数、中心角数、对称轴数均为n，题中∠EOF正好是圆内接正24边形的一个中心角的度数．
例9 如图9
已知在△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，D、E、F为各边中点，⊙O过点D、E、F与AB、AC分别交于M、N两点．
求证：五边形DNFEM是正五边形．
证明：连结DE、DF
∵AB=AC，∠B=2∠A
∴∠A=36°，∠B=∠C=72°
∵D、F、E是△ABC各边中点
∴EF‖BC，DE‖AC，DF‖AB，
∴∠1=∠2=∠3=∠A=36°
∠B=∠4=∠2+∠5=72°
∴∠5=72°-∠2=72°-36°=36°
同理∠6=36°
∴五边形DNFEM是正五边形
说明：本题判定的根据是：把图分成n(n≥3)等份．依次连结各分点得到的多边形是圆内接正n边形．
例10 如图10，已知正方形ABCD边长为a，截去四个角成一正八边形，求正八边形EFGHIJLK的边长和面积．
解：设正八边形的边长为x
在Rt△AEL中，LE=x
【课后练习】
1、填空题
(2)若正六边形的边长为a，则它的面积是________
(3)已知正方形的内切圆半径r=1，则这个正方形外接圆的面积S=_______
(4)正三角形的边心距为r，半径为R，高为h，则r∶R∶h=______
(5)一个正八边形绕它的中心至少旋转______度，才能和原来的图形重合．
(6)如图：AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正六边形的一边，则BC是圆内接_______边形的一边．
(7)一个正六边形两条平行的对边相距10cm，则边长为______cm．
(8)正多边形面积是100，周长是40，则它的边心距是_______
(9)若正多边形的每一个外角是24°，则正多边形的边数是______
若正多边形每一个内角是150°则这个正多边形的边长数是______
(10)两个正十边形的周长分别是10cm和30cm，则它们的半径之比为_______，面积之比为_______．
2、选择题
(1)若正方形的边心距为2，则这个正方形外接圆的半径为
A．2
B．4
(2)圆内接正六边形的边长为a，它的内接正方形的面积为
(3)正n边形的内切圆半径r与外接圆半径R的比是1∶2，则n等于
A．3
B．4
C．5
D．6
(4)一个圆的内接正三角形与圆内接正六边形面积的比为
A．3∶4
3、解答题：
(1)如图
A、B、C是⊙O的三等分点，A、D、E、F、G是⊙O的五等分点，求证：DE是⊙O的内接正十五边形的一边．
(2)在△AFG中AF=AG，∠FAG=108°，点C、D在FG上，且CF=CA，DG=DA，过A、C、D三点的⊙O分别交AF、AG于B、E．求证：五边形ABCDE是正五边形．
(3)如图
求该圆内接正方形的面积．
参考解答：
1、填空
2、选择题
D、A、A、D、D
3、解答题
144°-120°=24°�
∴BE是圆内接正十五边形的一边
(2)提示：经过计算得∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=36°
∴ABCDE是圆内接正五边形
(3)证明：
解：如图
设AB是⊙O的外切正三角形的一边，C为切点，CD是圆内接正方形的一边，连结OA、OB、OC、OD．
设⊙O的半径为R
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
2R（sin² A-sin² C)=(根号2*a-b)*sinB
a^2-c^2=根号ab-b^2
a^2+b^2-c^2=根号ab
利用余弦,cosC=根号2/2
利用基本不等式
a=b的时候,S最大
a=b代入a^2+b^2-c^2=根号ab
2a^2-根号2a^2=c^2
2-根号2=c^2/a^2
2-根号2=sin^2C/sin^2A
sin^2A=(2+根号2)/4
S=a^2sinC/2=(根号2+1)R^2/2
